서로소 집합(Disjoint Sets)
- 공통 원소가 없는 두 집합
- {1,2}와 {3,4}는 서로소 관계
서로소 집합 자료구조
- 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
1 ) 합집합(Union) : 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
2 ) 찾기(Find) : 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산
- 서로소 집합 자료구조는 합치기 찾기(Union Find) 자료구조로 불림
여러 개의 합치기 연산이 주어졌을 때, 서로소 집합 자료구조의 동작 과정은 다음과 같음
1. 합집합(Union) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인
1 ) A와 B의 루트 노드 A', B' 를 각각 찾음
2 ) A'를 B'의 부모 노드로 설정
2. 모든 합집합(Union) 연산을 처리할 때까지 1번의 과정 반복
처리할 연산 : Union(1, 4), Union(2, 3), Union(2, 4), Union(5, 6)
[ 초기단계 ] 노드의 개수 크기의 부모 테이블 초기화
처리할 연산 : Union(1, 4), Union(2, 3), Union(2, 4), Union(5, 6)
[ 1단계 ] 노드 1과 노드 4의 루트 노드를 각각 찾음 -> 루트 노드는 각각 1과 4이므로 더 큰 번호인 루트노드 4의 부모를 1로 설정
처리할 연산 : Union(1, 4), Union(2, 3), Union(2, 4), Union(5, 6)
[ 2단계 ] 노드 2와 노드 3의 루트 노드를 각각 찾음 -> 루트노드 3의 부모를 2로 설정
처리할 연산 : Union(1, 4), Union(2, 3), Union(2, 4), Union(5, 6)
[ 3단계 ] 노드 2와 노드 4의 루트 노드를 각각 찾음 -> 현재 루트노드는 각각 2와 1이므로 2의 부모를 1로 설정
결과적으로, 서로소의 집합 자료구조에서 연결성을 통해 손쉽게 집합의 형태를 확인할 수 있음
- 기본적인 형태의 서로소 집합 자료구조에서는 루트 노드에 즉시 접근할 수 X
- 루트 노드를 찾기 위해 부모 테이블을 계속해서 확인하여 거슬러 올라가야함
- 위와 같이 노드 3의 루트를 찾기 위해서는 노드 2를 거쳐 노드 1에 접근해야 함
# 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
if parent[x] != x:
return find_parent(parent, parent[x])
return x
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화
# 부모 테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
parent[i] = i
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합:', end='')
for i in range(1, v+1):
print(find_parent(parent, i), end=' ')
print()
print('부모 테이블:', end='')
for i in range(1, v+1):
print(parent[i], end=' ')서로소 집합 자료구조 : 기본적인 구현 방법의 문제점
- 합집합(Union) 연산이 편향되게 이루어지는 경우 찾기(Find) 함수가 비효율적으로 동작
- 최악의 경우 찾기(Find) 함수가 모든 노드를 다 확인하게 되어 시간 복잡도가 O(V)가 될 수 있음
-> {1, 2, 3, 4, 5}의 총 5개의 원소가 존재하는 상황에서 수행된 연산들은 Union(4,5), Union(3,4), Union(2,3), Union(1,2)
-> 5번 노드가 루트노드를 찾을 때 5번부터 1번까지 모든 노드의 함수를 호출하게 됨
-> 시간 복잡도가 O(V)가 되기 때문에, 단순히 부모테이블 확인하며 거슬러 올라 루트 노드를 찾는 방법은 수행시간 측면에서 매우 비효율적으로 동작함
서로소 집합 자료구조 : 경로 압축
- 찾기(Find) 함수를 최적화하기 위한 방법으로 경로 압축(Path Compression)을 이용
- 찾기(Find) 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신
# 특정 원소가 속한 집합 찾기(비효율적으로 동작할 가능성)
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
if parent[x] != x:
return find_parent(parent, parent[x])
return x
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
# 찾기 함수를 재귀적으로 호출한 뒤어 부모 테이블 값을 바로 갱신
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
# 부모 테이블에 적혀있는 값이 자신의 루트가 될 수 있음
return parent[x]
- 경로 압축 기법을 적용하면 각 노드에 대하여 찾기(Find) 함수를 호출한 이후에 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 됨
- 모든 합집합(Union) 함수를 처리한 후 각 원소에 대하여 찾기(Find) 함수를 수행하면 다음과 같이 부모 테이블이 갱신
- 기본적인 방법에 비하면 시간 복잡도가 개선됨
# 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# =========================================
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화
# 부모 테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
parent[i] = i
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합:', end='')
for i in range(1, v+1):
print(find_parent(parent, i), end=' ')
print()
print('부모 테이블:', end='')
for i in range(1, v+1):
print(parent[i], end=' ')서로소 집합을 활용한 사이클 판별
- 서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용 (+ 방향 그래프에서의 사이클 판별은 DFS!)
[사이클 판별 알고리즘 동작 방식]
1. 각 간선을 하나씩 확인하여 두 노드의 루트 노드를 확인
1 ) 루트 노드가 서로 다르다면(서로 다른 집합이라면) 두 노드에 대하여 합집합(Union) 연산 수행
2 ) 루트 노드가 서로 같다면(이미 같은 집합이라면) 사이클이 발생
2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정 반복
[초기 단계] 모든 노드에 대하여 자기 자신을 부모로 설정하는 형태로 부모 테이블 초기화
[1단계] 간선 (1, 2)를 확인 -> 노드 1과 노드2의 루트 노드는 각각 1, 2 -> 2의 부모 노드를 1로 변경
[2단계] 간선 (1, 3)을 확인 -> 노드 1과 노드3의 루트 노드는 각각 1, 3 -> 3의 부모 노드를 1로 변경
[3단계] 간선 (2, 3)을 확인 -> 노드 2와 노드3의 루트 노드는 모두 1 -> 사이클 발생
# 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# =========================================
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화
# 부모 테이블 상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
parent[i] = i
# ========================
cycle = False # 사이클 발생 여부
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
# 사이클이 발생한 경우 종료
if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
cycle = True
break
else:
union_parent(parent, a, b)
if cycle:
print('사이클이 발생함')
else:
print('사이클이 발생하지 않았음')
출처 : https://www.youtube.com/watch?v=aOhhNFTIeFI&list=PLRx0vPvlEmdAghTr5mXQxGpHjWqSz0dgC&index=9
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