[알고리즘] 최단 경로 알고리즘 - 플로이드 워셜(Floyd-Warshall)

플로이드 워셜

- 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산

- 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘 수행

- 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정 X

 

- 2차원 테이블에 최단 거리 정보 저장

- 다이나믹 프로그래밍 유형에 속함

- 각 단계마다 특정한 노드 K를 거쳐 가는 경우 확인

- a에서 b로 가는 최단거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사

플로이드 워셜 동작 과정

[초기단계] 그래프 준비하고 최단 거리 테이블 초기화

[1단계] 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블 갱신

[2단계] 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블 갱신

[3-4단계] 마지막으로 4번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블 갱신

INF = int(1e9)

# 노드의 개수 및 간선의 개수 입력
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
  for b in range(1, n+1):
    if a == b:
      graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
  # A에서 B로 가는 비용을 C라고 설정
  a, b, c = map(int, input().split())
  graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
# k를 거쳐가는 경우 생각해서 min 값 도출
for k in range(1, n+1):
  for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
      graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과 출력
for a in range(1, n+1):
  for b in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한으로 출력
    if graph[a][b] == INF:
      print('INFINITY')
    else:
      print(graph[a][b], end=' ')
  print()

플로이드 워셜 성능 분석

- 노드의 개수가 N개일 때 N번의 단계 수행

- 각 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로 고려

- 시간 복잡도 : O(N^3)